La pandemia como test de nuestras habilidades matemáticas

La pandemia de la Covid-19 está suponiendo un durísimo banco de pruebas de amplísima espectro, de un alcance inusitado. Entre otros muchos apartados, también están sirviendo para examinar nuestras habilidades matemáticas. Desde que comenzara a extenderse el letal virus vivimos inmersos en un torrente continuo de indicadores estadísticos, descriptivos y predictivos.

La modelización matemática ha desempeñado un papel crucial para calibrar el impacto de la terrible enfermedad. Asimismo, tras una fase inicial en la que el foco recaía casi exclusivamente en los datos relacionados con la vida y con la salud, estos rivalizan ahora con los indicadores económicos y financieros que reflejan el hachazo de la crisis desatada en tales ámbitos.

Así nos lo recuerda Bobby Seagull, conocido divulgador de las matemáticas, citado anteriormente en estas páginas, en un reciente artículo (“Pandemic is also a test of our maths skills”, Financial Times, 6-5-2020).

En dicho artículo plantea cinco problemas elementales, de enseñanza primaria, si bien nos advierte de que el 56% de los adultos del Reino Unido sólo son capaces de responder dos o tres de forma correcta:

1.   Si una bufanda cuesta €11,70 después de un 10% de reducción, ¿cuál era el precio   original?

2.     El almuerzo de Milly contiene 640 calorías de energía. ¿Qué porcentaje representa esto de su objetivo diario de 2.000 calorías?

3.     Los billetes de tren aumentaron un 2% en 2018 y un 5% en 2019. ¿Cuál fue el incremento total en estos dos años?

4.     ¿Cuál es el mejor valor para el mismo ketchup: 275g for €1,05 o 650g por €2,20?

5.     Un ordenador cuesta €899 incluyendo el IVA a un tipo del 20%. ¿Cuál es el importe del IVA comprendido en el precio?

Aun siendo tan elementales, el dominio de este tipo de habilidades matemáticas es un requisito fundamental, como soporte instrumental imprescindible, para la educación financiera de los niños.

Aprovecho para retomar una obra magnífica, “Dios creó los números”, de Stephen Hawking. Es emocionante recorrer sus páginas. En tiempos de sufrimiento y de zozobra siempre nos quedarán los números. Sólo ellos pueden dictar sus leyes inapelables y aportarnos la certeza. Sin embargo, como recuerda Hawking en la introducción, “el futuro sólo puede determinarse a través de la probabilidad”.

Shakespeare y la teoría del mono infinito

En una entrada de este blog de fecha 25 de enero de 2020, al hilo de algunas cuestiones matemáticas recogidas en un artículo de Bobby Seagull en el diario Financial Times, se planteaba la pregunta “¿Cuánto tiempo hace falta para que un inversor llegue a ser millonario?”. Dicha pregunta se abordaba mediante la resolución de un ejemplo bastante simple.

Como bastante simple es un ejercicio incluido en el primer capítulo del libro de dicho autor “The changing magic of numbers. How maths shapes every day life” (Penguin, 2018). En él se pide hallar el peso de cuatro balones de fútbol, a partir de cuatro pistas: i) el peso medio de los balones es de 80 gramos; ii) los tres más pesados pesan en total 270 gramos; iii) el peso del balón más pesado es 3 veces el del más ligero; iv) los dos balones intermedios pesan exactamente lo mismo.

Sin embargo, casi sin solución de continuidad, en el capítulo segundo se nos recuerda un problema algo más intrincado, asociado al conocido como teorema del mono infinito, expuesto en 1913 por el matemático Émile Borel.

Dicho teorema viene a decir que un mono que aporreara al azar las teclas de una máquina de escribir, durante una cantidad de tiempo infinita, en algún momento… ¡escribiría las obras completas de Shakespeare, o, incluso, cualquier texto dado!

Como tantas otras formulaciones teóricas, no cabe decir que ésta sea demasiado intuitiva. ¿Mero chiste, o inesperada conclusión derivada de la teoría de la probabilidad?

En cualquier caso, se trata de un extraordinario aliciente para el entretenimiento mental de alguien que haya de permanecer forzosamente confinado en estos días de enorme pesar.

¿Cuánto tiempo hace falta para que un inversor llegue a ser millonario?

Más concretamente, la pregunta, adaptada de la formulada en un artículo del Financial Times (Bobby Seagull, “Summing up: FT Money’s festive quiz”, 23 de enero de 2020), es la siguiente: Se supone que usted aprovecha la posibilidad de aportar cada año 20.000 euros a un instrumento de ahorro cuyos rendimientos están exentos de tributación. Suponiendo igualmente un tipo de rendimiento anual del 5% sobre el capital acumulado, ¿cuántos años harían falta para llegar a ser millonario (en función del saldo acumulado en el referido instrumento de ahorro)?

Según el autor del citado artículo, esta pregunta parece haber dejado boquiabiertos a muchos lectores. Aunque sea una cuestión muy elemental para las personas versadas en las materias financieras, tratemos de enfocar el problema pensando en quienes no lo son tanto.

Al ir dejando las aportaciones y sus rendimientos en el instrumento de ahorro, el importe acumulado a partir de una aportación inicial de 20.000 euros vendrá dado por: 20.000 x (1,05)ⁿ, siendo n el número de años. Al cabo de 50 años, se obtendría un montante de 229.348 euros; al cabo de 80, ya nos iríamos acercando mucho al millón (991.229 euros). En fin, queda claro que con una sola aportación el lapso de tiempo sería considerable, y, en cualquier caso, se indicaba que se harían aportaciones de igual cuantía todos los años. Así, con la del primer año llegaríamos a 20.000 x (1,05)ⁿ, con la del segundo a 20.000 x (1,05)^n-1, con la del tercero a 20.000 x (1,05)^n-2, y así sucesivamente, hasta 20.000 x 1,05 en el último año. Tendríamos un capital equivalente a la suma de todos esos importes.

Probamos, por ejemplo, con la ayuda de una hoja de cálculo, con 20 años. La cifra obtenida es de 694.385 euros. No es suficiente. Probamos ahora con 30 años. Superaríamos claramente la cota del millón (1.395.216 euros). El período necesario ha de estar, pues, en un punto intermedio. Sería ligeramente inferior a 25 años, ya que con este plazo llegaríamos a 1.002.269 euros.

Si no queremos soportar el engorro de este proceso iterativo, siempre podemos recurrir a alguna fórmula de cálculo directo o a tablas financieras, pero antes de ello es conveniente percibir la base subyacente, que se ha expuesto sucintamente.

Asimismo, una vez constatada la naturaleza de la progresión geométrica formada por los términos de la serie numérica, podemos utilizar la fórmula de la suma (S_n) de los términos de tal progresión, en la que el número de años aparecería como la incógnita. A efectos expositivos, podríamos invertir el orden y considerar que el primer término (a₁) es el del último año, 20.000 x 1,05; el segundo, 20.000 x (1,05)²; el tercero, 20.000 x (1,05)³… La razón (r) de la progresión es 1,05. Daría lo mismo, evidentemente, seguir el orden cronológico, con las adaptaciones correspondientes.

Consiguientemente, partiríamos de la expresión: S_n = a₁ x (rⁿ-1)/(r-1). Tras introducir los datos [1.000.000 = (20.000 x 1,05) x (1,05ⁿ – 1)/(1,05 – 1)], y con la siempre valiosa ayuda de los logaritmos, obtenemos que n es igual a 24,9 años.

Por otro lado, la pregunta se complementaba con otra, la de cuántos años más se requerirían si la tasa de rendimiento cae al 4%.

[Espero que CEC1 o CEC2, que parecen demostrar una gran precocidad en las habilidades matemáticas, estén pronto en condiciones de contestarla.]