Más concretamente, la pregunta, adaptada de la formulada en un artículo del Financial Times (Bobby Seagull, “Summing up: FT Money’s festive quiz”, 23 de enero de 2020), es la siguiente: Se supone que usted aprovecha la posibilidad de aportar cada año 20.000 euros a un instrumento de ahorro cuyos rendimientos están exentos de tributación. Suponiendo igualmente un tipo de rendimiento anual del 5% sobre el capital acumulado, ¿cuántos años harían falta para llegar a ser millonario (en función del saldo acumulado en el referido instrumento de ahorro)?
Según el autor del citado artículo, esta pregunta parece haber dejado boquiabiertos a muchos lectores. Aunque sea una cuestión muy elemental para las personas versadas en las materias financieras, tratemos de enfocar el problema pensando en quienes no lo son tanto.
Al ir dejando las aportaciones y sus rendimientos en el instrumento de ahorro, el importe acumulado a partir de una aportación inicial de 20.000 euros vendrá dado por: 20.000 x (1,05)n, siendo n el número de años. Al cabo de 50 años, se obtendría un montante de 229.348 euros; al cabo de 80, ya nos iríamos acercando mucho al millón (991.229 euros). En fin, queda claro que con una sola aportación el lapso de tiempo sería considerable, y, en cualquier caso, se indicaba que se harían aportaciones de igual cuantía todos los años. Así, con la del primer año llegaríamos a 20.000 x (1,05)n, con la del segundo a 20.000 x (1,05)n-1, con la del tercero a 20.000 x (1,05)n-2, y así sucesivamente, hasta 20.000 x 1,05 en el último año. Tendríamos un capital equivalente a la suma de todos esos importes.
Probamos, por ejemplo, con la ayuda de una hoja de cálculo, con 20 años. La cifra obtenida es de 694.385 euros. No es suficiente. Probamos ahora con 30 años. Superaríamos claramente la cota del millón (1.395.216 euros). El período necesario ha de estar, pues, en un punto intermedio. Sería ligeramente inferior a 25 años, ya que con este plazo llegaríamos a 1.002.269 euros.
Si no queremos soportar el engorro de este proceso iterativo, siempre podemos recurrir a alguna fórmula de cálculo directo o a tablas financieras, pero antes de ello es conveniente percibir la base subyacente, que se ha expuesto sucintamente.
Asimismo, una vez constatada la naturaleza de la progresión geométrica formada por los términos de la serie numérica, podemos utilizar la fórmula de la suma (Sn) de los términos de tal progresión, en la que el número de años aparecería como la incógnita. A efectos expositivos, podríamos invertir el orden y considerar que el primer término (a1) es el del último año, 20.000 x 1,05; el segundo, 20.000 x (1,05)2; el tercero, 20.000 x (1,05)3… La razón (r) de la progresión es 1,05. Daría lo mismo, evidentemente, seguir el orden cronológico, con las adaptaciones correspondientes.
Consiguientemente, partiríamos de la expresión: Sn = a1 x (rn-1)/(r-1). Tras introducir los datos [1.000.000 = (20.000 x 1,05) x (1,05n – 1)/(1,05 – 1)], y con la siempre valiosa ayuda de los logaritmos, obtenemos que n es igual a 24,9 años.
Por otro lado, la pregunta se complementaba con otra, la de cuántos años más se requerirían si la tasa de rendimiento cae al 4%.
[Espero que CEC1 o CEC2, que parecen demostrar una gran precocidad en las habilidades matemáticas, estén pronto en condiciones de contestarla.]
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