Tuve noticia de él hace años, no por el, al parecer, famoso programa de televisión estadounidense, sino a través de un artículo encontrado por casualidad en la revista de una importante consultora mundial. Reconozco que quedé fascinado por el problema, por el desafío que plantea a la lógica aparente.
El programa televisivo en cuestión se llamaba “Let’s make a deal” (“Hagamos un trato”) y era presentado por Monty Hall, de ahí que se conozca popularmente con ese nombre. A él me refería en un artículo dedicado a la interesante obra de Charles Wheelan “Naked Statistics”, publicada en el año 2013 (eXtoikos, nº 18, 2016: www.extoikos.es).
En el concurso televisivo, el concursante puede conseguir un coche, oculto tras una de las tres puertas cerradas que tiene ante sí; en las otras dos hay sendas imágenes de cabras:
- El concursante puede elegir cualquiera de las tres puertas.
- Una vez que elige una (por ejemplo, la nº 1), el presentador abre una de las otras dos puertas (por ejemplo, la nº 2), tras la que hay una cabra.
- Y le ofrece la posibilidad de cambiar a la otra puerta (la nº 3) o de mantenerse en su opción inicial.
¿Debe el concursante mantenerse en dicha opción (nº 1) o pasar a elegir la nueva puerta ofrecida (nº 3), permaneciendo ambas ocultas?
La primera impresión es realmente la de que nos encontramos ante una cuestión muy sencilla de resolver (por fin, encontramos algo en el intrincado campo de la Estadística al alcance de cualquiera, podríamos pensar), a partir de una lógica inmediata. Dado que las tras opciones son, en principio, idénticas desde el punto de vista de la elección sin saber qué hay detrás de cada puerta, la opción elegida por el concursante tiene una probabilidad de conseguir el premio de un tercio; la misma que, por tanto, tenía la opción restante que el presentador mantiene oculta. Así las cosas, dado que nos movemos entre opciones equiprobables, no merece la pena -cabe pensar- arriesgarse a cambiar, ya que podía haberse elegido inicialmente la opción premiada.
Pero no nos hagamos muchas ilusiones: las cosas a veces son más directas de lo que creíamos, pero otras veces nos sorprenden con alguna complicación que desafía la intuición. He aquí uno de tales casos. El problema de Monty Hall tiene una clara solución estadística: al concursante siempre le interesará (por supuesto, hablamos desde de una posición ex ante) cambiar su elección y optar por la otra puerta.
Antes de pasar a tratar de ofrecer la explicación, una consideración parece necesaria. Si alguien se ve sorprendido por la conclusión expuesta o discrepa de ella, no debe hacerse ningún reproche. Cuando la solución técnica al problema fue presentada en un artículo publicado en 1975 en una revista especializada en Estadística, miles de lectores -incluidos profesores de Estadística- alegaron que se trataba de un error.
En la obra mencionada de Wheelan se nos ofrece la explicación. Como se ha señalado, la probabilidad de que el premio se encuentre detrás de una de las tres puertas es de 1/3. Esa es la probabilidad asociada a la puerta elegida inicialmente por el concursante:
- Si el concursante elige la puerta nº 1 y hay un coche detrás de ella, el presentador puede mostrar la nº 2 o la nº 3.
- Si el concursante elige la puerta nº 1 y el coche está detrás de la nº 2, el presentador mostrará la nº 3.
- Si el concursante elige la puerta nº 1 y el coche está detrás de la nº 3, el presentador mostrará la nº 2.
¿Por qué le interesa al concursante cambiar su elección? Su opción inicial, como se ha señalado, es de 1/3. Al tener ahora la oportunidad de cambiar y teniendo en cuenta que el presentador ha descartado una puerta, equivale en la práctica a cubrir dos de las tres opciones. De esta manera, con el cambio, se garantiza una probabilidad de dos tercios, frente al tercio que tendría de mantenerse en su elección inicial.
Wheelan lo explica de manera intuitiva, introduciendo un pequeño cambio en las reglas del concurso. Así, supongamos que el concursante comienza eligiendo una de las tres puertas, como en el juego, pero, una vez que lo ha hecho, el presentador le ofrece la posibilidad de renunciar a su elección inicial a cambio de las otras dos puertas no elegidas. De esta manera, si el concursante acepta, lo que hace es incrementar la probabilidad de ganar desde 1/3 a 2/3.
Hay incluso otras explicaciones más extremas, como la recogida por Tim Harford en un artículo publicado recientemente (Financial Times, 6-10-2017), en la misma línea de la incluida en el libro de Wheelan. En este caso se traza un paralelismo con un concurso en el que hay que hacer una elección entre 100 puertas. Después de abrir una puerta elegida por el concursante, el presentador abre 98 puertas con la imagen de la cabra. Quedarían solo dos puertas sin abrir, la elegida por el concursante y otras más. Hay solo un 1% de probabilidad de que la puerta elegida por el concursante sea la correcta, luego interesa claramente hacer el cambio.
No obstante, si alguien no queda convencido de las explicaciones, tiene la posibilidad de recurrir a pruebas empíricas realizadas por sí mismo. También, la de trazar el árbol de decisiones:
1) El premio está en la puerta 1; el concursante elige la 1; el presentador descubre la 2 o la 3, y el concursante cambia a la 3 o a la 2, respectivamente; el concursante pierde.
2) El premio está en la puerta 1; el concursante elige la 2; el presentador descubre la 3, y el concursante cambia a la 1; el concursante gana.
3) El premio está en la puerta 1; el concursante elige la 3; el presentador descubre la 2, y el concursante cambia a la 1; el concursante gana.
Así, para cada puerta premiada se dan tres situaciones posibles con el cambio, y el concursante gana en dos de las tres. En total (si repetimos el ejercicio para las otras dos puertas), gana en 6 de 9, lo que equivale a una probabilidad de 2/3.
En fin, para no desesperar del todo, cabe recordar que, en palabras de Harford, estamos ante “el más engorroso desafío en matemáticas”. Tales palabras están teñidas, obviamente, del genuino humor británico, pero no dejan de tener un poso de verdad.
